최단 경로
최단 경로(Shortest Path) 알고리즘 :
가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘
위 문제의 종류는 상황에 맞는 효율적인 알고리즘이 이미 정리되어 있다.
여기서는 코딩 테스트에 많이 출제되는
최단 경로와 플로이드 워셜 알고리즘 유형만 다루겠다.
최단 경로 알고리즘은 그리디 알고리즘과 다이나믹 프로그래밍 알고리즘의 한 유형이다.
다익스트라(Dijkstra) 최단 경로 알고리즘 :
그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때,
특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘이다.
음의 간선이 없을 때 정상적으로 작동한다.
음의 간선 : 0보다 작은 값을 가지는 간선
현실 세계의 길은 음의 간선으로 표시되지 않으므로
이 알고리즘은 GPS 소프트웨어의 기본 알고리즘으로 많이 채택된다.
다익스트라 최단 경로 알고리즘은 기본적으로 그리디 알고리즘으로 분류된다.
매번 '가장 비용이 적은 노드'를 선택해서 임의의 과정을 반복하기 때문이다.
알고리즘 원리를 간단히 설명하면
- 출발 노드를 설정한다.
- 최단 거리 테이블을 초기화한다.
- 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
- 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
- 위 과정에서 3번째, 4번째 과정을 반복한다.
다익스트라 알고리즘은 최단 경로를 구하는 과정에서 '각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리' 정보를
항상 1차원 리스트에 저장하며 리스트를 계속 갱신한다는 특징이 있다.
매번 현재 처리하고 있는 노드를 기준으로 주변 간선을 확인한다.
나중에 현재 처리하고 있는 노드와 인접한 노드로 도달하는 더 짧은 경로를 찾으면
'더 짧은 경로도 있었네? 이제부터는 이 경로가 제일 짧은 경로야'
라고 판단하는 것이다.
따라서 '방문하지 않은 노드 중에서 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 확인'해 그 노드에 대하여
위 4번째 과정을 수행한다는 점에서 그리디 알고리즘으로 볼 수 있다.
위와 같은 그래프가 있을 때
1번 노드에서 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 구하는 문제를 생각해보자.
노드의 개수 : V
간선의 개수 : E
개선된 다익스트라 알고리즘에서는 힙(Heap) 자료 구조를 사용한다.
이를 사용하게 되면 특정 노드까지의 최단 거리에 대한 정보를 힙에 담아서 처리하므로
출발 노드로부터 가장 거리가 짧은 노드를 더욱 빠르게 찾을 수 있다.
힙 자료구조는 우선 순위 큐(Priority Queue)를 구현하기 위해 사용하는 자료구조 중 하나이다.
우선 순위 큐는 우선 순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제한다는 점이 특징이다.
내부적으로 최소 힙 혹은 최대 힙을 이용한다.
최소 힙을 이용하는 경우 '값이 낮은 데이터가 먼저 삭제'되며,
최대 힙을 사용하는 경우 '값이 큰 데이터가 먼저 삭제'된다.
다익스트라 최단 경로 알고리즘에서는 비용이 적은 노드를 우선하여 방문하므로
최소 힙 구조를 기반으로 하는 파이썬의 우선순위 큐 라이브러리를 그대로 사용하면 적합하다.
힙 정렬을 위 그림에서 현재 가장 가까운 노드를 저장하기 위한 목적으로만 우선순위 큐를 추가로 이용해보자.
1번 노드가 출발 노드인 경우를 고려해보자.
여기서는 당므과 같이 출발 노드를 제외한 모든 노드의 최단 거리를 무한으로 설정한다.
이후에 우선순위 큐에 1번 노드를 넣는다.
이때 1번 노드로 가는 거리는 자기 자신까지 도달하는 거리이기 때문에 0이다.
즉, (거리 : 0, 노드 : 1)의 정보를 가지는 객체를 우선순위 큐에 넣으면 된다.
파이썬에서는 간단히 튜플 (0,1)을 우선순위 큐에 놓는다.
파이썬의 heapq 라이브러리는 원소로 튜플을 입력받으면
튜플의 첫 번째 원소를 기준으로 우선순위 큐를 구성한다.
따라서 (거리, 노드 번호) 순서대로 튜플 데이터를 구성해 우선순위 큐에 넣으면 거리순으로 정렬된다.
우리는 우선 순위 큐를 이용하고 있으므로 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해서는
우선순위 큐에서 그냥 노드를 꺼내면 된다.
기본적으로 거리가 짧은 원소가 우선순위 큐의 최상위 원소로 위치해 있다.
따라서 우선순위 큐에서 노드를 꺼낸 뒤에 해당 노드를 이미 처리한 적이 있다면 무시하면 되고,
아직 처리하지 않은 노드에 대허서만 처리하면 된다.
코드)
import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)
# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m) :
a, b, c = map(int, input().split())
# a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
graph[a].append((b, c))
def dijkstra(start) :
q = []
# 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
heapq.heappush(q, (0, start))
distance[start] = 0
while q : # 큐가 비어있지 않다면
# 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
dist, now = heapq.heappop(q)
# 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
if distance[now] < dist :
continue
# 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
for i in graph[now] :
cost = dist + i[1]
# 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[i[0]] :
distance[i[0]] = cost
heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)
# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n*1) :
# 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
if distance[i] == INF :
print("INFINITY")
# 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
else :
print(distance[i])
입력 예시)
6 11
1
1 2 2
1 3 5
1 4 1
2 3 3
2 4 2
3 2 3
3 6 5
4 3 3
4 5 1
5 3 1
5 6 2
출력 예시)
0
2
3
1
2
4
다익스트라 알고리즘 = 한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로를 구하는 경우
플로이드 워셜 알고리즘 = 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경오를 모두 구해야 하는 경우
의외로 소스코드가 다익스트라 알고리즘보다 짧다.
플로이드 워셜 알고리즘 또한 단계마다 '거쳐 가는 노드'를 기준으로 알고리즘을 수행한다.
하지만 매번 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리를 갖는 노드를 찾을 필요가 없다는 점이 다르다.
노드의 개수가 N개일 때 알고리즘상으로 N번의 단계를 수행하며,
단계마다 O(N^2)의 연산을 통해
'현재 노드를 거쳐 가는' 모든 경로를 고려한다.
따라서 플로이드 워셜 알고리즘의 총 시간 복잡도는 O(N^3)이다.